この単元の教材
学びたいテーマや演習に合う教材を選んでください。外部教材は別のタブで開きます。基礎の確認が必要なときは、下の要点集へ戻れます。
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「品質審査待ち」は独立した内容確認が未完了です。教材ごとの確認範囲と注意事項を見て選んでください。
動画try-it.jp
この教材で学べること平面ベクトルの内積を復習し、空間でも |a||b|cosθ と成分の積の和で計算できることを説明する授業。空間ベクトルの導入後、内積を学ぶときに使えます。
見る前の確認：平面ベクトルの内積、2つのベクトルのなす角、xyz座標。まず2次元の成分式を書き、3次元で増える項を予想してから読みましょう。
閲覧条件確認時、要点の説明文と式は登録なしで閲覧できました。動画全編、図の細部、リンク先の例題・練習は未確認です。 （2026-10-02確認）
読むときの補足提供元は旧課程の『高校数学B』として案内していますが、ここでは現行の数学C『ベクトル』の教材として紹介しています。
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教材の確認範囲・補足
編集時のAI採点：88/100。学習効果や正確さを保証する点数ではありません。
Try ITの高校数学B『空間ベクトルの内積』ページで、指定URL・単元・題名と一致していました。平面ベクトルの内積の復習から、空間でも『大きさ×大きさ×cosθ』で定義されること、成分表示では『x成分の積+y成分の積+z成分の積』になることを、図とともに段階的に説明しており、高校生向け教材として妥当です。閲覧面でもページ構成は明確で、著作権・安全性上の重大な懸念は確認できませんでした。
編集時に内容を確認しています。 掲載後の変更までは保証できません。
演習yorikuwa.com注意付き掲載
教材の確認範囲に制限があります。 下の「教材の確認範囲・補足」を開き、注意事項を確認してから利用してください。
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教材の確認範囲・補足
編集時のAI採点：92/100。学習効果や正確さを保証する点数ではありません。
平面ベクトルの基礎から図形への応用まで段階的に整理され、演習の入口として公開に適しています。
内容の確認範囲に制限があります。 掲載後の変更までは保証できません。
解説examist.jp注意付き掲載
教材の確認範囲に制限があります。 下の「教材の確認範囲・補足」を開き、注意事項を確認してから利用してください。
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教材の確認範囲・補足
編集時のAI採点：91/100。学習効果や正確さを保証する点数ではありません。
位置ベクトルの意味を誤解しやすい点から丁寧に説明し、公式の導出へつなげる有効な理解教材です。
内容の確認範囲に制限があります。 掲載後の変更までは保証できません。
解説math.nakaken88.com品質審査待ち
この教材で学べることベクトルの向き・大きさ、始点と終点、等しいベクトルの意味を説明する導入記事。成分計算や内積へ進む前に、記号が何を表すか確認できます。
読む前の確認：平行な線分と同じ長さの線分の区別。自分でも矢印を描き、長さが同じでも向きが逆なら等しいベクトルではないことを確かめましょう。
閲覧条件確認時、本文と記号の説明は登録なしで閲覧できました。正六角形の図に依存する解答の対応関係と、関連ページは未確認です。 （2026-09-08確認）
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教材の確認範囲・補足
下記の採点と短評は一次審査時の記録です。独立した品質審査は未完了です。
編集時のAI採点：86/100。学習効果や正確さを保証する点数ではありません。
ベクトルの導入として、ベクトルの定義・等しいベクトル・単位ベクトルの説明が確認でき、確認範囲内に数学的な誤りは見当たりませんでした。URL・タイトル・単元の一致も概ね確認できましたが、取得できた本文が一部のみで、ページ全体の検算は未完了です。注意付き掲載候補として扱います。
内容の確認範囲に制限があります。 掲載後の変更までは保証できません。
解説kou.benesse.co.jp品質審査待ち
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教材の確認範囲・補足
下記の採点と短評は一次審査時の記録です。独立した品質審査は未完了です。
編集時のAI採点：84/100。学習効果や正確さを保証する点数ではありません。
ベクトルの基本説明として、向きと大きさ、スカラーとの違い、等しいベクトルや零・逆・単位ベクトルの整理という主題は確認でき、中心的な数学内容に重大な誤りは見当たりませんでした。一方で、取得できた証拠は部分的で、数式・図・全例題までは十分に検算できていません。
内容の確認範囲に制限があります。 掲載後の変更までは保証できません。
抽出証拠に『移項のコツと分数・小数の攻略まで例題で解説』など本記事と無関係な断片が混在しており、掲載前に表示品質の確認が必要です。
成分表示や等しいベクトルの条件の厳密な数式表現は、今回の証拠範囲では全面確認できませんでした。
解説kou.benesse.co.jp品質審査待ち
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教材の確認範囲・補足
下記の採点と短評は一次審査時の記録です。独立した品質審査は未完了です。
編集時のAI採点：74/100。学習効果や正確さを保証する点数ではありません。
ベクトルの内積を扱う高校数学教材として、タイトル・単元・要約の整合は確認できました。内容証拠からは、内積の定義、成分計算、なす角・垂直判定への活用を説明する意図が読み取れます。ただし、肝心の数式・例題・解答の全文は確認できず、数学的正確性の完全検算には至っていません。注意付き掲載候補として扱います。
内容の確認範囲に制限があります。 掲載後の変更までは保証できません。
提供された証拠内にキャンペーン文や別内容と思われる文言が混在しており、本文抽出の信頼性に注意が必要です。
内積の定義式、成分表示の公式、垂直判定条件、例題解答はこの証拠だけでは全文確認できません。
学習内容と、先に知っておきたいこと
この単元で学ぶこと
ベクトルの演算・内積・位置ベクトル・空間ベクトル
前提となる内容
座標平面・図形の性質・三角比
図形条件をベクトル式に翻訳し、位置関係を証明できる
1. 成分：終点から始点を引く
- A(a₁, a₂)からB(b₁, b₂)へのベクトルABの成分は(b₁ − a₁, b₂ − a₂)です。
- ベクトルの和は移動を続ける操作で、AB + BC = ACとなります。
- 向きを逆にすると成分の符号が両方変わります。
例と計算手順を確認する
例題：A(1, 2)、B(4, 6)、C(−1, 3)について、AB、BC、ACを求める。
- AB = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4)。長さは√(3² + 4²) = 5。
- BC = (−1 − 4, 3 − 6) = (−5, −3)。
- AB + BC = (−2, 1)。直接計算したAC = (−1 − 1, 3 − 2) = (−2, 1)とも一致する。
間違えやすいところABとBAは同じではありません。長さは同じでも向きが逆で、BA = −ABです。また、ベクトルの長さは成分を単純に足した値ではありません。
この要点を1問で確認する
A(2, −1)、B(−1, 3)のとき、BAの成分と長さは？
答えと考え方を見る
BA = (2 − (−1), −1 − 3) = (3, −4)。長さは√(9 + 16) = 5です。始点がBであることを確認します。
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2. 内積：角度の条件を計算へ変える
- a = (a₁, a₂)、b = (b₁, b₂)の内積はa・b = a₁b₁ + a₂b₂です。
- どちらも零ベクトルでないとき、0° ≤ θ ≤ 180°のなす角についてa・b = |a||b| cos θ。
- 内積が0なら90°、正なら0° ≤ θ < 90°、負なら90° < θ ≤ 180°です。
- 同じ向きの0°、逆向きの180°も含めて考えます。
例と計算手順を確認する
例題：a = (1, 2)、b = (2, −1)が直交するか調べる。
- a・b = 1 × 2 + 2 × (−1) = 0。
- |a| = |b| = √5で、どちらも零ベクトルではない。
- cos θ = 0/(√5 × √5) = 0なので、θ = 90°。
間違えやすいところ零ベクトルとの内積はいつも0ですが、零ベクトルには向きがなく、なす角は定められません。角度を求めるときは長さが0でないことを確認します。
この要点を1問で確認する
a = (1, 0)に対して、b = (1, √3)、c = (2, 0)、d = (−2, 0)とのなす角はそれぞれ何度？
答えと考え方を見る
bとは内積1、長さ1と2なのでcos θ = 1/2で60°。cとはcos θ = 2/(1 × 2) = 1で0°、dとはcos θ = −2/(1 × 2) = −1で180°です。内積の符号だけで鋭角・鈍角と決めると、平行な場合を見落とします。
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3. 内分点：比と係数の対応を確かめる
- 点A、Bの位置ベクトルをa、bとし、AP:PB = m:n（m、n > 0）となる内分点Pを考えます。
- APはABのm/(m + n)倍なので、p = a + m(b − a)/(m + n) = (na + mb)/(m + n)です。
- A側の距離の比mが、bの係数になることを式から確かめます。
例と計算手順を確認する
例題：A(1, 2)、B(7, 5)をAP:PB = 1:2に内分するPを求める。
- APはABの1/3。AB = (6, 3)なので、AP = (2, 1)。
- Aに移動を足すとP = (1, 2) + (2, 1) = (3, 3)。
- 内分公式でもP = (2A + B)/3 = ((2 + 7)/3, (4 + 5)/3) = (3, 3)。PはA寄りにある。
間違えやすいところ(mA + nB)/(m + n)と機械的に書くと、比を逆にしてしまいます。中点なら係数は同じですが、それ以外はAからの移動量で確かめましょう。
この要点を1問で確認する
A(−2, 1)、B(4, 7)をAP:PB = 2:1に内分するPは？
答えと考え方を見る
P = (A + 2B)/3 = (2, 5)。AからAB = (6, 6)の2/3だけ進む計算でも、(−2, 1) + (4, 4) = (2, 5)です。
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4. 空間ベクトル：3成分で長さと直交を求める
- 互いに垂直なx、y、z軸で同じ尺度を使う空間座標では、ベクトルを3つの成分で表します。
- A(a₁, a₂, a₃)からB(b₁, b₂, b₃)への移動はAB = (b₁ − a₁, b₂ − a₂, b₃ − a₃)。
- v = (v₁, v₂, v₃)の長さは√(v₁² + v₂² + v₃²)、内積はu・v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃です。
- 平面の公式に第3成分を加えて考えます。
例と計算手順を確認する
例題：A(−1, 1, 0)、B(1, 2, 2)のベクトルABと長さを求め、c = (1, 0, −1)と直交するか調べる。
AB = (2, 1, 2)を原点Oから描き直した青い矢印OP。破線はx方向に2、y方向に1、z方向に2進む経路です。立体を平面に投影した図なので、見た目の角度や長さは計算に使いません。- 各座標で終点から始点を引くと、AB = (1 − (−1), 2 − 1, 2 − 0) = (2, 1, 2)。図では同じベクトルを原点OからP(2, 1, 2)へ描き直している。
- 長さは√(2² + 1² + 2²) = √9 = 3。xとyの移動だけなら√5だが、z方向の移動2もある。
- AB・c = 2 × 1 + 1 × 0 + 2 × (−1) = 0。どちらも零ベクトルではないので、なす角は90°で直交する。
間違えやすいところ空間の図を平面に描くと、直角や長さが見た目どおりにはなりません。図から角度を測らず、3成分の内積で判断します。また、空間でも零ベクトルとのなす角は定められません。
この要点を1問で確認する
A(1, 2, 3)、B(3, 1, 5)のとき、ABの成分と長さは？
答えと考え方を見る
AB = (3 − 1, 1 − 2, 5 − 3) = (2, −1, 2)。長さは√(4 + 1 + 4) = 3です。y方向の成分が負でも、長さでは2乗するので非負の量になります。
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必要なときだけ：4問で理解を確認