この単元の教材
学びたいテーマや演習に合う教材を選んでください。外部教材は別のタブで開きます。基礎の確認が必要なときは、下の要点集へ戻れます。
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「品質審査待ち」は独立した内容確認が未完了です。教材ごとの確認範囲と注意事項を見て選んでください。
演習yorikuwa.com注意付き掲載
この教材で学べること場合の数と確率の例題を探す一覧。集合の個数、樹形図、和と積の法則、順列などの目次から選べます。詳しい解法は各問題のリンク先で読みます。
使う前の確認：順番を区別するか、同じものを繰り返し選べるか。迷う場合は樹形図の項目から始め、公式だけで数えないようにしましょう。
閲覧条件確認時、一覧と目次は登録なしで閲覧できました。掲載されている全57問の解答と、リンク先の利用条件は未確認です。 （2026-09-08確認）
教材の確認範囲に制限があります。 下の「教材の確認範囲・補足」を開き、注意事項を確認してから利用してください。
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教材の確認範囲・補足
編集時のAI採点：90/100。学習効果や正確さを保証する点数ではありません。
一覧ページと複数の詳細解説リンクを確認し、主要な順列・組合せ・確率例題の答えは独立再計算と一致した。1箇所だけ表現の修正推奨があるが、結論や解法は崩れない。
内容の確認範囲に制限があります。 掲載後の変更までは保証できません。
詳細解説『区別できるorできないグループ分け』のPointで『5人、2人、2人に分ける場合、すべてのグループは区別できるが2つの2人グループの区別ができない』は矛盾して読めるため、『5人グループは人数で区別できるが、2つの2人グループは互いに区別できないので2!で割る』が適切。
解説motozemi.com注意付き掲載
教材の確認範囲に制限があります。 下の「教材の確認範囲・補足」を開き、注意事項を確認してから利用してください。
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教材の確認範囲・補足
編集時のAI採点：88/100。学習効果や正確さを保証する点数ではありません。
独立再計算では掲載4問の答えはいずれも正しい。『順番が関係ある/ない』だけで判断する説明はやや単純化されているが、各例題では条件処理が補われており公開停止相当の懸念はない。
内容の確認範囲に制限があります。 掲載後の変更までは保証できません。
動画youtube.com品質審査待ち
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教材の確認範囲・補足
下記の採点と短評は一次審査時の記録です。独立した品質審査は未完了です。
編集時のAI採点：76/100。学習効果や正確さを保証する点数ではありません。
公開説明で確認できた確率の基本方針に明白な誤りはないが、成立条件と例題計算を検算できないため保留とする。
内容の確認範囲に制限があります。 掲載後の変更までは保証できません。
動画youtube.com品質審査待ち
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教材の確認範囲・補足
下記の採点と短評は一次審査時の記録です。独立した品質審査は未完了です。
編集時のAI採点：74/100。学習効果や正確さを保証する点数ではありません。
場合の数の主要分類を扱うことは確認できたが、各公式の条件と演習解答を直接検算できないため保留とする。
内容の確認範囲に制限があります。 掲載後の変更までは保証できません。
学習内容と、先に知っておきたいこと
この単元で学ぶこと
数え上げの原則・順列と組合せ・独立試行・条件付き確率と期待値
前提となる内容
樹形図・割合・集合
事象を正しく分類し、分母と分子を一貫して数えられる
1. 順列と組合せ：順番を入れ替えると別の結果？
- 異なるn個から重複なくr個を順に選ぶと、選択肢はn、n−1、…と減るので、順列は nPr = n!/(n−r)! 通りです。
- 順番を区別せず選ぶ組合せでは、同じr個がr!回ずつ数えられているため、nCr = nPr/r! とします。
- 0 ≤ r ≤ nの整数で考え、0! = 1と定めます。
例と計算手順を確認する
例題：5人から委員長と副委員長を1人ずつ選ぶ場合と、役職のない委員2人を選ぶ場合を比べる。
- 役職がある場合、委員長は5通り、その人を除いた副委員長は4通り。5 × 4 = 20通り。
- 役職がない場合、AさんとBさんは、A→BとB→Aで同じ組になる。20を2!で割って10通り。
- 5人から3人を順番なしで選ぶなら、5 × 4 × 3 を3!で割って10通り。同じ組を何回数えたかで割る数が決まる。
間違えやすいところ順番を区別しないからといって、いつも2で割るわけではありません。また、同じ人を再び選べる設定では選択肢が減らず、別の数え方になります。
この要点を1問で確認する
異なる6冊から3冊を選んで横一列に並べる場合と、3冊を選ぶだけの場合は、それぞれ何通り？
答えと考え方を見る
並べる場合は6 × 5 × 4 = 120通り。選ぶだけなら3! = 6で割り、20通りです。1つの3冊の組から6通りの並びができます。
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2. 条件付き確率：条件によって分母が変わる
- P(A) > 0のとき、Aが起きたという条件の下でBが起きる確率は P(B|A) = P(A∩B)/P(A) です。
- 分母は最初の全体ではなく、条件Aを満たす範囲になります。
- 独立とは、Aを知ってもBの確率が変わらないことです。
- 取り出したものを戻さない抽選では、通常、次の確率が変わります。
例と計算手順を確認する
例題：赤玉3個と白玉2個の袋から、戻さずに2個を順に無作為に取り出す。1個目が赤だったとき、2個目も赤である確率を求める。
- 最初は5個だが、1個目が赤と分かった後は赤2個と白2個が残る。
- 条件付き確率は2/4 = 1/2。1個目を知る前の赤の割合3/5とは異なる。
- 2個とも赤である確率は (3/5) × (2/4) = 3/10。最初が赤となる確率も掛ける。
間違えやすいところ『2個とも赤』と『1個目が赤だったとき2個目も赤』は別の問いです。また、確率を単純な個数の比で求めるには、個々の玉が等しく選ばれる前提が必要です。
この要点を1問で確認する
同じ袋で、1個目が白だったとき2個目が赤である確率と、白→赤の順に出る確率を求めよう。
答えと考え方を見る
白を1個取り出した後は赤3個、白1個なので、条件付き確率は3/4。白→赤の確率は (2/5) × (3/4) = 3/10です。
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3. 独立と排反：確率が変わらないことと、同時に起こらないこと
- 2つの事象A、Bが独立である条件はP(A∩B) = P(A)P(B)です。
- P(A) > 0なら、条件付き確率P(B|A) = P(B)と同じ意味になります。
- 一方、排反とは共通の結果がなく、AとBが同時には起こらないことです。
- 独立と排反は別の性質なので、それぞれを確かめます。
例と計算手順を確認する
例題：公平な6面サイコロを1回振る。Aを『偶数が出る』、Bを『3の倍数が出る』として、独立か、排反かを調べる。
6つの出目を、偶数かどうか・3の倍数かどうかで分類する| 偶数かどうか | B：3の倍数 | Bではない | 合計 |
|---|
| A：偶数 | 6 | 2、4 | 3通り |
|---|
| Aではない | 3 | 1、5 | 3通り |
|---|
| 合計 | 2通り | 4通り | 6通り |
|---|
- A = {2, 4, 6}、B = {3, 6}なので、P(A) = 1/2、P(B) = 1/3。共通の出目は6でP(A∩B) = 1/6。
- P(A)P(B) = (1/2) × (1/3) = 1/6となり、共通部分の確率に等しいので独立。偶数と分かった後も、3の倍数の割合は1/3のまま。
- 出目6ではAとBが同時に起こるため排反ではない。独立でも、同時に起こる結果はあり得る。
間違えやすいところ『独立』を『共通部分がない』という意味で使わないこと。どちらの確率も正で、排反ならP(A∩B) = 0に対してP(A)P(B) > 0となり、独立ではありません。
この要点を1問で確認する
同じサイコロでAを『偶数が出る』、Cを『4以上が出る』とする。AとCは独立？ 排反？
答えと考え方を見る
A = {2, 4, 6}、C = {4, 5, 6}。共通の4、6があるため排反ではありません。P(A∩C) = 2/6 = 1/3に対しP(A)P(C) = (1/2) × (1/2) = 1/4なので、独立でもありません。
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4. 期待値：起こる値を確率で重み付けする
- 有限個の値をとる確率変数Xの期待値は、各値とその確率の積を足した E(X) = ΣxP(X=x) です。
- 最も起こりやすい値とは限らず、1回の試行では出ない値になることもあります。
- 利益を考えるときは、受取額と参加費を区別します。
例と計算手順を確認する
例題：公平な6面サイコロを1回振り、6が出たら600円、それ以外は0円を受け取る。参加費150円のとき、差引額の期待値はいくら？
- 受取額の期待値は600 × (1/6) + 0 × (5/6) = 100円。
- 参加費は結果にかかわらず150円なので、差引額の期待値は100 − 150 = −50円。
- 実際の差引額は450円または−150円であり、−50円がそのまま出るわけではない。
間違えやすいところ期待値が正でも必ず利益が出るとは限りません。期待値だけでは、結果のばらつきや損失の大きさも分かりません。
この要点を1問で確認する
公平な硬貨を2回独立に投げ、表1回につき100円を受け取る。受取額の期待値は？
答えと考え方を見る
表の回数が0、1、2となる確率は1/4、1/2、1/4。期待値は0 × (1/4) + 100 × (1/2) + 200 × (1/4) = 100円です。各回の期待値50円を足しても求められます。
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必要なときだけ：4問で理解を確認